虚数填补了数学的哪个空白？
复数是人类数域拓展的一大步。和我一样，我讨厌它(太硬)，我喜欢它(太美)。大概从大一高等代数遇到它开始，数学爱好者又爱又恨的这个东西就产生了。
复数的诞生——代数学家的标志
我猜复数的引入是一些代数学家做的。他们在解方程x 21=0时，创造性地假设有两个根，并开始引入复数。
而且很明显，I和1是R-线性无关的(也就是说没有两个非零实数a和b能满足一个bi=0)，所以自然形成一个二维的R-线性空间，记为C.(自然高中课本更愿意把zC当成bi，也是基于这个——二维向量)
然后他们很快定义了一套加减法，就像高中课本上说的那样。
欧拉公式——欧拉的技巧
泰勒公式是学过高数的人不能忘记的。作为实函数微分学的最高成就，给很多学生留下了心理阴影。
泰勒展开
这时，伟大的数学家欧拉来了。欧拉是个天才。应该说除了伽罗瓦之外的数学家应该都在第一梯队。当然他也有很多褒贬不一的结论，比如著名的^ 2/6。在复杂变量领域，他依然有着敏锐的洞察力——。他看到除了符号，exp，sin和cos的泰勒展开式都有相同的系数——。所以他引入了虚数，把它们带进来，呃，成立！
欧拉的技巧
当然带x=是e (I ) 1=0的公式，这是所有幼儿园小朋友都知道的。
欧拉公式是物理系常用的公式，通常以傅里叶的形式出现。记号——大大简化了傅里叶的形式，体现了傅里叶的性质(评论区提出可以很好地描述相位)。
复杂分析——分析的美丽乐章
和我们物理系不一样，隔壁数学系总是“浪费”很多时间纠结定义。泰勒展开很漂亮，但是需要可导，比如——。exp，cos，sin在复空间中没有定义，那么可导性质在哪里？
数学家开始研究复变函数的严格定义。首先复空间的度量定义很好，最好还是遵循二维欧氏空间(也就是高中的模)。这个函数的极限可以定义。自然有级数和导数。
多项式函数是可以定义的，所以数学家做了一件事：——把结论当做定义，并加以推广(这是贯穿数学发展的一个技巧，随处可见)；——用泰勒级数定义了exp，sin，cos之类的东西。
此外，还有一个柯西黎曼方程描述解析性质的充要条件，它把几个点和复分析联系起来，把实函数的结论带入复分析。
柯西黎曼方程
如果说数学分析中最深奥的两个公式是泰勒公式和牛顿-莱布尼茨-格林-高斯-斯托克斯公式，一个标志着微分学的高峰，一个标志着积分学的高峰，而复分析中最深奥的公式是下面两个公式。
柯西积分公式
洛朗级数
可见复分析的高阶导数其实是用积分来定义的，和实分析完全不同。至于劳伦特系列——泰勒的延伸，就很深刻了。
柯西积分公式也有许多推导结论，如著名的最小模定理、刘维尔定理、留数定理等。
先说刘维尔定理：如果全纯函数有界，那么它一定是常数函数，柯西积分公式反证法逐步给出答案(习题省略答案)。作者用历史上最短的证明，——，一举获得博士学位。他的博士生导师是欧姆，没错，电阻就是欧姆定律的欧姆。
代数闭域代数学家的好消息——
高中生熟知的代数基本定理，也是高斯一生最大的贡献(高斯认为自己)。——次复多项式在复平面上可以有N个根
使用复杂的分析工具(刘维尔定理)变得极其简洁；
代数基本定理的简单证明：n次多项式只要有一个根，就可以用数学归纳法证明。
一般基本定理比较深刻，比如算术和微积分的基本定理，代数的基本定理告诉大家——复数是代数闭域！
有了代数闭域，代数就能做事，比如折磨线性代数每一个新生的乔丹范式。
若尔当标准型
再后来，在矩阵函数和常微分方程中会一次又一次地出现Jordan标准型，成为学术渣滓心中挥之不去的痛。
黎曼猜想——菲尔兹奖在向你招手
然后有人做分析，比如引入解析延拓等等。其中最著名的是黎曼猜想。
黎曼函数
如果你能证明上面黎曼函数的所有非平凡的零(即不含负偶数的零)都是1/2，你就能获得菲尔兹奖——，召唤你！
据说这个东西和数论有关(评论区说和素数分布有关)，在数学上有很重要的地位。具体不太懂，等相关领域的大佬补充。
编辑双子
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