圆关于直线对称的圆的方程

当一个圆以一条直线为对称轴线对称时，其对称圆的圆心一定在对称轴线上，并且对称圆与原圆上任意一点到对称轴线的距离相等。因此，我们可以利用这些特点求出圆关于直线对称的圆的方程。
设原圆的圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$，直线方程为 $L：ax+by+c=0$。则对称圆的圆心坐标必然在直线 $L$ 上，设其坐标为 $(m,n)$。由于圆心到直线 $L$ 的距离等于半径 $r$，可以列出以下方程组：
$$begin{cases} dfrac{|am+bn+c|}{sqrt{a^2+b^2}} = r m = alambda-c n = blambda-c end{cases}$$
其中 $lambda$ 为任意实数。将第二行和第三行代入第一行，整理后可得：
$$(a^2+b^2)lambda^2+2(ac+bd)lambda+(c^2+d^2-r^2) = 0$$
解得 $lambda_1$ 和 $lambda_2$，则对称圆的圆心坐标分别为 $(alambda_1-c,blambda_1-d)$ 和 $(alambda_2-c,blambda_2-d)$。
对于每个对称圆，其半径与原圆相等，因此对称圆的方程为：
$$(x-alambda_i+c)^2+(y-blambda_i+d)^2=r^2$$
其中 $i=1,2$ 代表两个对称圆。这就是圆关于直线对称的圆的方程。
需要注意的是，如果直线 $L$ 恰好通过原圆的圆心，那么对称圆的半径为 $0$，其方程为 $(x-a)+(y-b)=0$，即原圆的圆心。