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不等式的知识点(精选12篇)

发布时间: 2024-08-12 20:34:31

不等式的知识点(1)

不等式:

①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。

不等式的解集:

①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式:

左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组:

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向:

在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中,如果加上同一个数(或加上一个正数),不等式符号不改向;例如:AB,A+CB+C

在不等式中,如果减去同一个数(或加上一个负数),不等式符号不改向;例如:AB,A-CB-C

在不等式中,如果乘以同一个正数,不等号不改向;例如:AB,AxCBxC(C0)

在不等式中,如果乘以同一个负数,不等号改向;例如:AB,AxC

如果不等式乘以0,那么不等号改为等号

所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立。

不等式的知识点(2)

1.不等式性质比较大小方法:

(1)作差比较法

(2)作商比较法

不等式的基本性质

①对称性:a>bb>a

②传递性:a>b,b>ca>c

③可加性:a>ba+c>b+c

④可积性:a>b,c>0ac>bc

⑤加法法则:a>b,c>da+c>b+d

⑥乘法法则:a>b>0,c>d>0ac>bd

⑦乘方法则:a>b>0,an>bn(n∈N)

⑧开方法则:a>b>0

2.算术平均数与几何平均数定理:

(1)如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)

(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)

如果为实数,则重要结论

(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;

(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法:

比较法:比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,

则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。

综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。

4.不等式的解法

(1)不等式的有关概念同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项

(2)不等式ax>b的解法

①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

②当a<0时不等式的解集是{x|x

(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

(4)绝对值不等式|x|0)的解集是{x|-aa(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:oo-a0a

小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,

通常有下列三种解题思路:

(1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

(2)公式法:|f(x)|>af(x)>a或f(x)<-a;|f(x)|

(3)平方法:|f(x)|>a(a>0)f2(x)>a2;|f(x)|0)f2(x)

(4)几何意义

(5)分式不等式的解法

(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。

(7)含有绝对值的不等式定理:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|?|a|-|b|≤|a+b|中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立?|a+b|≤|a|+|b|中当且仅当ab≥0等号成立推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|推广:|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an|推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

不等式的知识点(3)

(1)最大值或最小值的`求法

第一步确定a的符号:a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。

(2)y轴与抛物线y=ax^2+bx+c的交点为(0,c)。

(3)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax^2+bx+c有且只有一个交点(h,ah^2+bh+c)。

(4)抛物线与x轴的交点。

二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点△>0抛物线与x轴相交。

②有一个交点(顶点在x轴上)△=0抛物线与x轴相切;

③没有交点△<0抛物线与x轴相离。

(5)平行于x轴的直线与抛物线的交点。

同(4)一样可能有0个交点,1个交点,2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax^2+bx+c=k的两个实数根。

(6)一次函数y=kx+n(k≠0)的图像l与二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像g的交点,由方程组y=kx+n和y=ax^2+bx+c的解的数目确定:

①当方程组有两组不同的解时l与g有两个交点;

②方程组只有一组解时l与g只有一个交点;

③方程组无解时l与g没有交点.

(7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x轴的交点,再根据交点坐标写出不等式的解集.

注意:观察图像时不要看漏了其中的部分。

不等式的知识点(4)

不等式的解集:

①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

①常见的不等号有“>”“<”“≤”“≥”及“≠”。分别读作“大于,小于,小于等于,大于等于,不等于”,其中“≤”又叫作不大于,“≥”叫作不小于;

②在不等式“a>b”或“a

③不等号的开口所对的数较大,不等号的尖头所对的数较小;

④在列不等式时,一定要注意不等式关系的关键字,如:正数、非负数、不大于、小于等等。

不等式的知识点(5)

不等式的定义:a-b>;0a>;b, a-b=0a=b, a-b<;0a

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。

不等式的性质:

① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有:

(1) a>;bb

(2) a>;b, b>;ca>;c (传递性)

(3) a>;ba+c>;b+c (c∈R)

(4) c>;0时,a>;bac>;bc

c<;0时,a>;bac

运算性质有:

(1) a>;b, c>;da+c>;b+

(2) a>;b>;0, c>;d>;0ac>;

(3) a>;b>;0an>;bn (n∈N, n>;1)。

(4) a>;b>;0>;(n∈N, n>;1)。

应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:

(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

不等式的知识点(6)

一元一次不等式组:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组

不等式:

①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。

7、不等式的解集:

①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

定理与性质

不等式的性质:

不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。

不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立。

不等式的知识点(7)

一元一次不等式组:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组

不等式:

①用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。

7、不等式的解集:

①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

定理与性质

不等式的性质:

不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。

不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立。

不等式的知识点(8)

不等式的解集:

①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

①常见的不等号有“>”“<”“≤”“≥”及“≠”。分别读作“大于,小于,小于等于,大于等于,不等于”,其中“≤”又叫作不大于,“≥”叫作不小于;

②在不等式“a>b”或“a

③不等号的开口所对的数较大,不等号的尖头所对的数较小;

④在列不等式时,一定要注意不等式关系的关键字,如:正数、非负数、不大于、小于等等。

不等式的知识点(9)

不等式的定义:a-b>;0a>;b, a-b=0a=b, a-b<;0a

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。

不等式的性质:

① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有:

(1) a>;bb

(2) a>;b, b>;ca>;c (传递性)

(3) a>;ba+c>;b+c (c∈R)

(4) c>;0时,a>;bac>;bc

c<;0时,a>;bac

运算性质有:

(1) a>;b, c>;da+c>;b+

(2) a>;b>;0, c>;d>;0ac>;

(3) a>;b>;0an>;bn (n∈N, n>;1)。

(4) a>;b>;0>;(n∈N, n>;1)。

应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:

(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

不等式的知识点(10)

证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点。比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值)。

不等式相关公式

a>b,b>c=>a>c;

a>b=>a+c>b+c;

a>b,c>0=>ac>bc;

a>b,c<0=>ac

;a>b>0,c>d>0=>ac>bd;

a>b,ab>0=>1/a<1/b

;a>b>0=>a^n>b^n;

基本不等式:(根号ab)≤(a+b)/2

那麽可以变为a^2-2ab+b^2≥0

a^2+b^2≥2ab

有两条哦!

一个是

不等式的知识点(11)

高中不等式知识点课件

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。下面是小编为大家整理的高中不等式知识点课件,欢迎阅读。

一、目标与要求

1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式和一元一次不等式的意义,通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

2.经历由具体实例建立不等模型的过程,经历探究不等式解与解集的不同意义的过程,渗透数形结合思想;

3.通过对不等式、不等式解与解集的探究,引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学,并能将它们应用到生活的各个领域。

三、重点

1.理解并掌握不等式的性质;

2.正确运用不等式的性质;

3.建立方程解决实际问题,会解ax+b=cx+d类型的一元一次方程;

4.寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型;

5.一元一次不等式组的解集和解法。

四、难点

1.一元一次不等式组解集的理解;

2.弄清列不等式解决实际问题的思想方法,用去括号法解一元一次不等式;

3.正确理解不等式、不等式解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示到数轴上。

五、知识点、概念总结

1.不等式:用符号,表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式分类:不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地,用纯粹的大于号、小于号,连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号),连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。

3.不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

4.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

5.不等式解集的表示方法:

(1)用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来,例如:x-12的解集是x3

(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解,用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理

(1)不等式F(x) G(x)与不等式 G(x)F(x)同解。

(2)如果不等式F(x) G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,那么不等式 F(x) G(x)与不等式H(x)+F(x)

(3)如果不等式F(x) G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)0,那么不等式F(x) G(x)与不等式H(x)F(x)0,那么不等式F(x) G(x)与不等式H(x)F(x)H(x)G(x)同解。

7.不等式的性质:

(1)如果xy,那么yy;(对称性)

(2)如果xy,y那么x(传递性)

(3)如果xy,而z为任意实数或整式,那么x+z(加法则)

(4)如果xy,z0,那么xz如果xy,z0,那么xz

(5)如果xy,z0,那么xzy如果xy,z0,那么xz

(6)如果xy,mn,那么x+my+n(充分不必要条件)

(7)如果x0,m0,那么xmyn

(8)如果x0,那么x的n次幂y的n次幂(n为正数)

8.一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。

9.解一元一次不等式的一般顺序:

(1)去分母 (运用不等式性质2、3)

(2)去括号

(3)移项 (运用不等式性质1)

(4)合并同类项

(5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)

(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

10. 一元一次不等式与一次函数的'综合运用:

一般先求出函数表达式,再化简不等式求解。

11.一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一一起,就组成

了一个一元一次不等式组。

12.解一元一次不等式组的步骤:

(1) 求出每个不等式的解集;

(2) 求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)

(3) 用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)

13.解不等式的诀窍

(1)大于大于取大的(大大大);

例如:X-1,X2 ,不等式组的解集是X2

(2)小于小于取小的(小小小);

例如:X-4,X-6,不等式组的解集是X-6

(3)大于小于交叉取中间;

(4)无公共部分分开无解了;

14.解不等式组的口诀

(1)同大取大

例如,x2,x3 ,不等式组的解集是X3

(2)同小取小

例如,x2,x3 ,不等式组的解集是X2

(3)大小小大中间找

例如,x2,x1,不等式组的解集是1

(4)大大小小不用找

例如,x2,x3,不等式组无解

15.应用不等式组解决实际问题的步骤

(1)审清题意

(2)设未知数,根据所设未知数列出不等式组

(3)解不等式组

(4)由不等式组的解确立实际问题的解

(5)作答

16.用不等式组解决实际问题:其公共解不一定就为实际问题的解,所以需结合生活实际具体分析,最后确定结果。

不等式的知识点(12)

初一数学一元一次不等式知识点

在我们平凡的学生生涯里,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点就是学习的重点。还在苦恼没有知识点总结吗?下面是小编整理的初一数学一元一次不等式知识点,仅供参考,欢迎大家阅读。

一、一元一次不等式的解法:

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,其步骤为:

1、去分母;

2、去括号;

3、移项;

4、合并同类项;

5、系数化为1

二、不等式的基本性质:

1、不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;

2、不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;

3、不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

三、不等式的解:

能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

四、不等式的解集:

一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。

五、解不等式的`依据不等式的基本性质:

性质1:不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。

性质2:不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

性质3:不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

常见考法

(1)考查一元一次不等式的解法;

(2)考查不等式的性质。

误区提醒

忽略不等号变向问题。

初中数学重点知识点归纳

有理数乘法的运算律

1、乘法的交换律:ab=ba;

2、乘法的结合律:(ab)c=a(bc);

3、乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac

单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的。

多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。

2、同类项所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

提高数学思维的方法

转化思维

转化思维,既是一种方法,也是一种思维。转化思维,是指在解决问题的过程中遇到障碍时,通过改变问题的方向,从不同的角度,把问题由一种形式转换成另一种形式,寻求最佳方法,使问题变得更简单、清晰。

创新思维

创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程,通过这种思维能突破常规思维的界限,以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题,得出与众不同的解

要培养质疑的习惯

在家庭教育中,家长要经常引导孩子主动提问,学会质疑、反省,并逐步养成习惯。

在孩子放学回家后,让孩子回顾当天所学的知识:老师如何讲解的,同学是如何回答的?当孩子回答出来之后,接着追问:“为什么?”“你是怎样想的?”启发孩子讲出思维的过程并尽量让他自己作出评价。

有时,可以故意制造一些错误让孩子去发现、评价、思考。通过这样的训练,孩子会在思维上逐步形成独立见解,养成一种质疑的习惯。

【微语】勤奋是点燃希望的火种,坚持则是照亮黑夜的烛光。

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