对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=+,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为,则f(15)=.
因为f(x+1)=+,
所以f(x+1)-=≥0,
即f(x+1)≥.
两边平方得[f(x+1)-]2=f(x)-[f(x)]2,
即[f(x+1)]2-f(x+1)+=f(x)-[f(x)]2,
即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=-,
即an+1+an=-,
即数列{an}的任意相邻两项之和为-,
所以S15=7×(-)+a15=-,即a15=-.
所以a15=[f(15)]2-f(15)=-,
解得f(15)=或f(15)=(舍去).
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
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